Gráfico de control CUSUM: sumas acumuladas para la detección rápida de cambios

Un gráfico de control CUSUM (gráfico de suma acumulada) monitoriza un proceso acumulando las desviaciones respecto a un valor objetivo, de modo que pequeños desplazamientos persistentes se acumulan hasta generar una alarma clara mucho antes de que reaccione un gráfico de control convencional. Mientras que un gráfico de Shewhart juzga cada muestra de forma aislada, el CUSUM tiene memoria. Eso lo convierte en la herramienta estándar más rápida para detectar desplazamientos de aproximadamente 0,5 a 1,5 desviaciones estándar, exactamente las derivas lentas por desgaste de herramienta, deriva térmica o variación del material que erosionan el margen.

Por qué los pequeños desplazamientos son los más costosos

Un gráfico de Shewhart con límites de 3 sigma detecta saltos grandes y repentinos rápidamente pero reacciona despacio ante los pequeños. Si la media del proceso deriva una desviación estándar, la longitud media de corrida (ARL) hasta la detección es de unas 44 muestras. Si se muestrea cada hora, eso son casi dos días de producción fuera de objetivo que aumentan su tasa de rechazo sin que un solo punto supere un límite.

Un CUSUM correctamente ajustado detecta ese mismo desplazamiento en unas 10 muestras con una tasa de falsas alarmas comparable: cuatro veces más rápido. Esa ventaja es la razón por la que el gráfico debería formar parte de cualquier programa maduro de control estadístico de procesos.

Cómo funciona el CUSUM tabular: los parámetros k y h

El CUSUM tabular sigue dos sumas acumuladas para cada observación x frente al objetivo mu0:

• Suma superior: C+ = max(0, x - (mu0 + k) + C+ anterior), que detecta desplazamientos hacia arriba
• Suma inferior: C- = max(0, (mu0 - k) - x + C- anterior), que detecta desplazamientos hacia abajo

Dos parámetros lo gobiernan todo:

• k, el valor de referencia (tolerancia): una banda muerta que el gráfico ignora, fijada a la mitad del desplazamiento que se desea detectar (k = 0.5 sigma para captar un desplazamiento de 1 sigma). Las desviaciones menores que k hacen que las sumas se drenen hacia cero; las mayores las acumulan.
• h, el intervalo de decisión: el umbral de alarma, típicamente 4 o 5 sigma. Con k = 0.5 sigma y h = 5 sigma, la ARL en control es aproximadamente 465 muestras, comparable a un gráfico de Shewhart, mientras que un desplazamiento de 1 sigma señala en unas 10 muestras.

Un h más bajo detecta más rápido pero produce más falsas alarmas. Tras un reinicio, iniciar las sumas en h/2 (una respuesta inicial rápida, o FIR) vuelve a generar alarmas rápidamente si el problema persiste.

Ejemplo resuelto: detectar una pequeña deriva en el peso de llenado

Una línea de embotellado llena con objetivo mu0 = 500 g y sigma = 1 g. Calidad quiere detectar una deriva al alza de 1 g, por lo que k = 0.5 g y h = 5 g. Los límites de Shewhart estarían en 497 g y 503 g. Después de la muestra 5, una válvula de llenado empieza a trabarse y la media verdadera sube en unos 1.5 g.

1. Muestras 1 a 5 (en control): 500.2, 499.4, 500.4, 499.8, 500.1 g. Todas están por debajo del umbral de 500.5 g (mu0 + k), por lo que C+ se mantiene en cero.
2. Muestra 6: 501.5 g. El exceso sobre 500.5 es 1.0, por lo que C+ = 1.0.
3. Muestra 7: 501.2 g. El exceso es 0.7, por lo que C+ = 1.7.
4. Muestra 8: 501.8 g. El exceso es 1.3, por lo que C+ = 3.0.
5. Muestra 9: 501.4 g. El exceso es 0.9, por lo que C+ = 3.9.
6. Muestra 10: 501.7 g. El exceso es 1.2, por lo que C+ = 5.1, que supera h = 5. Alarma.

El gráfico señaló solo cinco muestras después de que empezara la deriva, y aun así ninguna lectura individual se acercó al límite de 503 g del Shewhart; un gráfico de Shewhart habría seguido esperando mientras cada botella regalaba producto. CUSUM incluso estima la nueva media: mu0 + k + C+/N, donde N es el número de muestras desde que la suma dejó de ser cero. Aquí eso es 500 + 0.5 + 5.1/5 = 501.52 g, indicando al técnico cuánto ajustar.

CUSUM vs Shewhart: cuándo usar cada uno

• Los gráficos de Shewhart sobresalen durante el arranque del proceso, para causas especiales grandes y para la intuición del operador; las reglas de Nelson amplían su sensibilidad.
• El CUSUM sobresale en procesos maduros y estables amenazados por derivas lentas: desgaste de herramientas, ensuciamiento de intercambiadores de calor, envejecimiento de reactivos, efectos estacionales de temperatura.
• El CUSUM amplifica pequeñas desviaciones, por lo que el ruido de medición puede hacerse pasar por deriva. Realice un estudio de repetibilidad y reproducibilidad (Gauge R&R) antes de confiar en el gráfico.
• Asume un proceso estable con sigma conocido. Establezca el control y confirme la capacidad del proceso primero. Y dado que el CUSUM es más lento que Shewhart en desplazamientos muy grandes, muchas plantas ejecutan ambos en paralelo.

Implementación del CUSUM en planta

1. Estime mu0 y sigma a partir de al menos 20 a 30 subgrupos en control; usar el objetivo de la especificación en lugar de datos reales del proceso es una causa clásica de fallo.
2. Elija el desplazamiento que importa económicamente y fije k a la mitad de ese valor.
3. Elija h según la tasa de falsas alarmas que pueda tolerar: 4 sigma reacciona más rápido, 5 sigma produce menos falsas alarmas.
4. Automatice los cálculos. El CUSUM tabular es trivial para el software y propenso a errores si se calcula a mano.
5. Escriba la reacción en su plan de control: verifique la medición, encuentre y corrija la causa asignable, luego reinicie ambas sumas a cero (o a un arranque FIR) para que el gráfico siga impulsando acciones en lugar de convertirse en mero adorno.

Dónde encaja Fabrico

Un gráfico CUSUM solo es tan rápido como los datos que lo alimentan. Fabrico es la base de datos en tiempo real: captura datos de producción y de máquina en el momento en que ocurren, incluida la visión por ordenador en máquinas sin PLC, y los convierte en monitorización de OEE y de producción en vivo, de modo que la deriva aparece dentro del turno y no en el informe de la semana siguiente. Cuando se confirma una señal, el ciclo se cierra en el mismo sistema: generar una orden de trabajo, registrar la causa raíz contra el activo y programar la tarea preventiva de seguimiento en el CMMS listo para el campo de Fabrico. Y como Fabrico está desarrollado en la UE con residencia de datos en la UE, sus datos de proceso permanecen dentro de la UE.

Preguntas frecuentes

¿Qué significan los parámetros k y h en un gráfico CUSUM?

k (el valor de referencia) es la banda de tolerancia que el gráfico ignora, normalmente la mitad del desplazamiento que se desea detectar; h (el intervalo de decisión) es el umbral de alarma sobre las sumas acumuladas, normalmente de 4 a 5 desviaciones estándar.

¿Cómo se compara un gráfico CUSUM con un gráfico EWMA?

Ambos tienen memoria y ofrecen un rendimiento similar en desplazamientos pequeños. EWMA pondera exponencialmente los puntos recientes y es más robusto frente a datos no normales; el CUSUM tabular se ajusta a un tamaño de desplazamiento específico y ofrece una estimación directa de la nueva media tras una señal.

¿Qué debo hacer después de una alarma CUSUM?

Verifique la medición primero, luego encuentre y corrija la causa asignable y documente la acción. Reinicie C+ y C- a cero, o a un arranque de h/2 para una confirmación rápida de que la corrección funcionó, y continúe con el trazado.

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