CUSUM-Kontrollkarte: Kumulative Summen zur schnellen Erkennung von Verschiebungen

Eine CUSUM-Kontrollkarte (kumulatives Summendiagramm) überwacht einen Prozess, indem sie Abweichungen vom Zielwert aufsummiert, sodass kleine, aber anhaltende Verschiebungen sich zu einem klaren Alarm addieren, lange bevor eine herkömmliche Kontrollkarte reagiert. Während eine Shewhart-Karte jede Stichprobe isoliert beurteilt, hat CUSUM Gedächtnis. Das macht sie zum schnellsten Standardwerkzeug, um Verschiebungen von etwa 0,5 bis 1,5 Standardabweichungen zu erfassen – genau die langsamen Drifts durch Werkzeugverschleiß, Temperaturdrift oder Materialschwankungen, die stillschweigend die Marge aufzehren.

Warum kleine Verschiebungen teuer sind

Eine Shewhart-Kontrollkarte mit 3‑Sigma-Grenzen erkennt große, plötzliche Sprünge schnell, reagiert aber langsam auf kleine. Wenn der Prozessmittelwert um eine Standardabweichung driftet, beträgt die durchschnittliche Lauflänge (ARL) bis zur Erkennung etwa 44 Stichproben. Bei stündlicher Probennahme sind das fast zwei Tage an nicht zielgerechter Produktion, die Ihre Ausschussrate erhöht, ohne dass auch nur ein einzelner Wert jemals eine Grenze überschreitet.

Ein richtig eingestellter CUSUM erkennt dieselbe Verschiebung in etwa 10 Stichproben bei vergleichbarer Fehlalarmrate: viermal schneller. Dieser Vorteil ist der Grund, warum die Karte in jedes ausgereifte statistische Prozesskontroll‑(SPC‑)Programm gehört.

Wie die tabellarische CUSUM funktioniert: die Parameter k und h

Die tabellarische CUSUM führt für jede Beobachtung x zwei laufende Summen gegen das Ziel mu0:

• Obere Summe: C+ = max(0, x - (mu0 + k) + vorheriges C+), die Aufwärtsverschiebungen auffängt
• Untere Summe: C- = max(0, (mu0 - k) - x + vorheriges C-), die Abwärtsverschiebungen auffängt

Zwei Parameter regeln alles:

• k, der Referenzwert (Allowance): eine Totzone, die die Karte ignoriert, gesetzt auf die Hälfte der zu erfassenden Verschiebung (k = 0,5 Sigma, um eine 1‑Sigma‑Verschiebung zu erfassen). Abweichungen, die kleiner als k sind, treiben die Summen wieder in Richtung Null; größere Abweichungen bauen sie auf.
• h, das Entscheidungsintervall: die Alarmgrenze, typischerweise 4 oder 5 Sigma. Mit k = 0,5 Sigma und h = 5 Sigma liegt die in‑control ARL bei etwa 465 Stichproben, vergleichbar mit einer Shewhart‑Karte, während eine 1‑Sigma‑Verschiebung in etwa 10 Stichproben signalisiert.

Ein kleineres h detektiert schneller, führt aber häufiger zu Fehlalarmen. Nach einem Zurücksetzen bewirkt das Starten der Summen bei h/2 (sog. Fast Initial Response, FIR) eine schnelle erneute Alarmierung, falls das Problem bestehen bleibt.

Beispielrechnung: Erfassung eines kleinen Drifts beim Füllgewicht

Eine Abfülllinie füllt auf ein Ziel von mu0 = 500 g mit sigma = 1 g. Die Qualitätsabteilung möchte eine Aufwärtsdrift von 1 g erfassen, also k = 0,5 g und h = 5 g. Die Shewhart‑Grenzen lägen bei 497 g und 503 g. Nach Messung 5 beginnt ein Füllventil zu klemmen und der wahre Mittelwert steigt um etwa 1,5 g.

1. Messungen 1 bis 5 (im Regelzustand): 500,2, 499,4, 500,4, 499,8, 500,1 g. Alle liegen unter der Schwelle von 500,5 g (mu0 + k), daher bleibt C+ bei null.
2. Messung 6: 501,5 g. Der Überschuss über 500,5 beträgt 1,0, also C+ = 1,0.
3. Messung 7: 501,2 g. Überschuss 0,7, also C+ = 1,7.
4. Messung 8: 501,8 g. Überschuss 1,3, also C+ = 3,0.
5. Messung 9: 501,4 g. Überschuss 0,9, also C+ = 3,9.
6. Messung 10: 501,7 g. Überschuss 1,2, also C+ = 5,1, was h = 5 übersteigt. Alarm.

Das Diagramm signalisierte nur fünf Messungen nach Beginn der Verschiebung, obwohl kein einzelner Messwert auch nur annähernd die 503 g‑Shewhart‑Grenze erreichte; eine Shewhart‑Karte hätte weiter gewartet, während jede Flasche Produkt verlor. CUSUM schätzt sogar den neuen Mittelwert: mu0 + k + C+/N, wobei N die Anzahl der Messungen seit dem Verlassen der Nullsumme ist. Hier ergibt das 500 + 0,5 + 5,1/5 = 501,52 g und sagt dem Techniker, wie weit er nachstellen muss.

CUSUM vs. Shewhart: Wann welches Verfahren verwenden

• Shewhart‑Karten eignen sich besonders beim Prozessstart, für große Spezialursachen und zur Unterstützung der Intuition des Bedieners; die Nelson‑Regeln erweitern ihre Sensitivität.
• CUSUM ist überlegen bei ausgereiften, stabilen Prozessen, die durch langsamen Drift bedroht sind: Werkzeugverschleiß, Verekelung von Wärmetauschern, Altern von Reagenzien, saisonale Temperatureffekte.
• CUSUM verstärkt kleine Abweichungen, sodass Messrauschen als Drift erscheinen kann. Führen Sie eine Gauge R&R‑Studie durch, bevor Sie der Karte vertrauen.
• Es setzt einen stabilen Prozess mit bekannter Sigma‑Größe voraus. Stellen Sie Kontrolle her und bestätigen Sie zuerst die Prozessfähigkeitskennzahlen. Und da CUSUM bei sehr großen Verschiebungen langsamer ist als Shewhart, betreiben viele Werke beide Karten parallel.

Implementierung von CUSUM auf dem Shopfloor

1. Schätzen Sie mu0 und sigma aus mindestens 20 bis 30 in‑control Subgruppen; das Verwenden des Spezifikationsziels statt echter Prozessdaten ist eine klassische Fehlerquelle.
2. Wählen Sie die ökonomisch relevante Verschiebung und setzen Sie k auf deren Hälfte.
3. Wählen Sie h entsprechend der für Sie tolerierbaren Fehlalarmrate: 4 Sigma reagiert schneller, 5 Sigma ruft seltener „Wolf“.
4. Automatisieren Sie die Rechenarbeit. Die tabellarische CUSUM ist für Software trivial und von Hand fehleranfällig.
5. Schreiben Sie die Reaktion in Ihren Kontrollplan: Messung verifizieren, die zuordenbare Ursache finden und beheben, dann beide Summen auf null (oder auf einen FIR‑Vorsprung) zurücksetzen, damit die Karte weiter Maßnahmen anstößt, statt zur Tapete zu werden.

Wo Fabrico ins Bild passt

Eine CUSUM‑Karte ist nur so schnell wie die Daten, die sie speisen. Fabrico ist die Echtzeitdaten‑Basis: Es erfasst Produktions‑ und Maschinendaten, sobald sie anfallen, einschließlich Computer‑Vision an Maschinen ohne SPS, und verwandelt sie in Live‑OEE und Produktionsüberwachung, sodass Drift innerhalb der Schicht sichtbar wird, nicht erst im Bericht der nächsten Woche. Wenn ein Signal bestätigt wird, schließt sich die Schleife im selben System: Arbeitsauftrag auslösen, Root‑Cause am Asset dokumentieren und die Folge‑Präventivaufgabe im feldbereiten CMMS von Fabrico planen. Und weil Fabrico in der EU entwickelt wurde und EU‑Datenresidenz bietet, bleiben Ihre Prozessdaten innerhalb der EU.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeuten die Parameter k und h in einer CUSUM‑Karte?

k (der Referenzwert) ist die Toleranzzone, die die Karte ignoriert, normalerweise die Hälfte der zu erfassenden Verschiebung; h (das Entscheidungsintervall) ist die Alarmgrenze auf den kumulierten Summen, normalerweise 4 bis 5 Standardabweichungen.

Wie vergleicht sich eine CUSUM‑Karte mit einer EWMA‑Karte?

Beide haben Gedächtnis und bieten ähnliche Leistung bei kleinen Verschiebungen. EWMA gewichtet neuere Punkte exponentiell und ist robuster gegenüber nicht‑normalen Daten; die tabellarische CUSUM ist auf eine spezifische Verschiebungsgröße abgestimmt und liefert nach einem Signal eine direkte Schätzung des neuen Mittelwerts.

Was sollte ich nach einem CUSUM‑Alarm tun?

Verifizieren Sie zuerst die Messung, dann finden und korrigieren Sie die zuordenbare Ursache und dokumentieren Sie die Maßnahme. Setzen Sie C+ und C‑ auf null oder auf einen h/2‑Vorsprung zum schnellen Bestätigen der Wirksamkeit der Korrektur zurück und führen Sie die Chartführung fort.

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